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广西大学自动控制原理习题答案(本科)第7章72


习题参考答案
7-1 求如下信号的频谱 | F (i? ) | 。 (1) f (t ) ? 1 (3) f (t ) ? cost (5) f (t ) ? te ?t (2) f (t ) ? e ?t (4) f (t ) ? t (6) f (t ) ? t cost

解:控制系统中的信号都是指 t ? 0 时 f (t ) ? 0 函数。以下信号不考 虑频谱中的奇异信号。 (1) | F (i? ) |?| (2) | F (i? ) |?| (3) | F (i? ) |?| (4) | F (i? ) |? (5) | F (i? ) |?

1

?

|

1 1 |? 1 ? i? 1? ?2

? | 1??2
1

?2
1 (1 ? ? ) 2

(6) | F (i? ) |?

1? ?2 (1 ? ? 2 ) 2

7-2 对题 7-1 的信号进行采样,采样频率为 T=0.1 秒, (1)求采样信号的频谱 | F (i? ) | 。
*

(2)求采样信号的 z 变换。
1

解: (1) f (t ) ? 1

f * (t ) ? ? ? (t ? 0.1n)
n ?0

?

F * (i? ) ? ? ?

?e
n ?0

?

? i 0.1n?

?

1 1 ? e ?i 0.1?

1 1 ? cos0.1? ? i sin 0.1? 1

2 ? 2 cos0.1? 1 z F ( z) ? ? ?1 z ?1 1? z ?t (2) f (t ) ? e

f * (t ) ? ? e ?0.1n? (t ? 0.1n)
n ?0

?

F * (i? ) ? ? ?

?e
n ?0

?

? 0.1n ?i 0.1n?

?

1 1? e
? 0.1? i 0.1?

1 1? e
? 0.1

cos0.1? ? ie ?0.1 sin 0.1? 1

1 ? e ?0.2 ? 2e ?0.1 cos0.1? 1 z F ( z) ? ? ? 0.1 ?1 1? e z z ? e ?0.1 (3) f (t ) ? cost

2

f * (t ) ? ? (cos0.1n)? (t ? 0.1n)
n ?0

?

?

1 ? i 0.1n (e ? e? i 0.1n )? (t ? 0.1n) ? 2 n ?0
1 2

F * (i? ) ? ? ? ? ? ?

?e
n?0

?

? i 0.1n (? ?1)

? ? e ? i 0.1n (? ?1)
n?0

?

1 1 1 ? 2 1 ? e? i 0.1(? ?1) 1 ? e? i 0.1(? ?1) 1 2 ? e? i 0.1(? ?1) ? e? i 0.1(? ?1) 2 1 ? e? i 0.1(? ?1) ? e? i 0.1(? ?1) ? e? i 0.2? 1 2 ? 2e? i 0.1? cos1 2 1 ? 2e? i 0.1? cos1 ? e? i 0.2? (note : cos1 ? 0.54)

1 ? 0.54cos 0.1? ? i0.54sin 0.1? 1 ? 1.08cos 0.1? ? cos 0.2? ? i(1.08sin 0.1? ? sin 0.2? ) 1.29 ? 1.08cos 0.1? 3.17 ? 2.16cos 0.1? ? 2cos 0.2? ? 2.16cos 0.1? cos 0.2?

1 ? 0.54z ?1 z 2 ? 0.54z F ( z) ? ? 1 ? 1.08z ?1 ? z ?2 z 2 ? 1.08z ? 1 (4) f (t ) ? t

f * (t ) ? ? 0.1n? (t ? 0.1n)
n ?0

?

3

F * (i? ) ? ? ?

? 0.1ne?i 0.1n? ?
n ?0

?

| 0.1e ?i 0.1? | 1 ? e ?i 0.1?
2 2

0.1 1 ? cos0.1? ? i sin 0.1? 1 20 ? 20 cos0.1?

F ( z) ?

0.1z ?1 0.1z ? ?1 2 (1 ? z ) ( z ? 1) 2
?

(5) f (t ) ? te ?t

f * (t ) ? ? 0.1ne?0.1n? (t ? 0.1n) ,
n ?0

F (i? ) ?
*

? 0.1ne
n ?0

?

? 0.1n ?i 0.1n?

?

| 0.1e ?0.1?i 0.1? | 1 ? e ?0.1?i 0.1?
2 2

? ?

0.1 1 ? e ?0.1 cos0.1? ? ie ?0.1 sin 0.1? 10 ? 10e
? 0.2

1 ? 20e ?0.1 cos0.1?

F ( z) ?

0.1e ?0.1 z ?1 0.1e ?0.1 z ? (1 ? e ?0.1 z ?1 ) 2 ( z ? e ?0.1 ) 2

7-3 已知连续信号的拉普拉斯变换如下,对信号进行频率为 T=0.1 秒 采样后,求采样信号的 z 变换。 (1) F ( s ) ?

1 s
4

1 ,a ? 0 s?a 1 (3) F ( s ) ? 2 s 1 (4) F ( s) ? ( s ? 1)(s ? 3)
(2) F ( s ) ? 解:

z z ?1 z (2) F ( z ) ? z ? e ?0.1a 0.1z (3) F ( z ) ? ( z ? 1) 2
(1) F ( z ) ? (4) F ( z ) ?

1 z z (e ?0.1 ? e ?0.3 ) z ( ? ) ? 2 z ? e ?0.1 z ? e ?0.3 2( z ? e ?0.1 )(z ? e ?0.3 )

7-4 已知离散系统的差分方程如下, 求系统在初始状态 y(0)=2, y(1)=1 和输入 r (k ) ? 1, k ? 0 下的响应。 (1) y(k (2) y(k

? 2) ? 5 y(k ? 1) ? 6 y(k ) ? 2r (k ? 1) ? r (k ) ? 2) ? 2 y(k ? 1) ? y(k ) ? r (k )

解: (1)对差分方程的每一项进行 Z 变换得到:

[ z 2Y ( z ) ? y(0) z 2 ? y(1) z] ? 5[ zY ( z) ? y(0) z ] ? 6Y ( z ) ? 2[ zR( z ) ? r (0) z] ? R( z )
代入状态和输入得到

5

Y ( z) ?

2z ? 1 z 2 z 2 ? 11z ? ? z 2 ? 5z ? 6 z ? 1 z 2 ? 5z ? 6 z (2 z 2 ? 11z ? 10) ? ( z ? 1)(z 2 ? 5 z ? 6) 0.5 z 4z 2.5 z ? ? ? z ?1 z ? 2 z ? 3

作 z 反变换得到 y(k ) ? 0.5 ? 4 ? 2 k ? 2.5 ? 3k (2)对差分方程的每一项进行 Z 变换得到:

[ z 2Y ( z) ? y(0) z 2 ? y(1) z] ? 2[ zY ( z) ? y(0) z] ? Y ( z) ? R( z)
代入状态和输入得到

Y ( z) ?

1 z 2 z 2 ? 5z ? ? z 2 ? 2z ? 1 z ? 1 z 2 ? 2z ? 1 z (2 z 2 ? 3z ? 4) ? ( z ? 1)(z 2 ? 2 z ? 1) 0.25z 1.75z 2.5 z ? ? ? z ?1 z ? 1 ( z ? 1) 2

作 z 反变换得到 y(k ) ? 0.25 ? 1.75? (?1) k ? 2.5 ? k (?1) k 7-5 已知离散系统的闭环特征方程如下,验证闭环系统的稳定性。 (1) z (2) z
3

? 4.03z 2 ? 5.82z ? 2.03 ? 0

3

? 6.3z 2 ? 13.9 z ? 5.5 ? 0
1? w 。用 Routh 判据判断稳定性。 1? w

解:作双线性变换 z ? (1)方程变为

6

(1 ? w) 3 ? 4.03(1 ? w) 2 (1 ? w) ? 5.82(1 ? w)(1 ? w) 2 ? 2.03(1 ? w) 3 ? 0
即 0.76w ? 0.76w ? 3.88w ? 12.88 ? 0 。
3 2

由 Routh 判据知系统不稳定。 (2)方程变为

(1 ? w) 3 ? 6.3(1 ? w) 2 (1 ? w) ? 13.9(1 ? w)(1 ? w) 2 ? 5.5(1 ? w) 3 ? 0
即 3.1w ? 0.7w ? 21.1w ? 26.7 ? 0 。
3 2

由 Routh 判据知系统不稳定。 7-6 一个二阶采样系统的方块图如图,采样周期 T=0.1s。 (1)求使系统稳定的放大系数 K。 (2)如果没有采样开关和零阶保持器,K 的取值是否影响系统稳定 性?
R(s)

-

1 ? e ?Ts s

K s (0.1s ? 1)

Y(s)

题 7-6 图

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